Cours Théorie de la mesure, Intégration et Probabilités
La nouvelle page du cours se trouve maintenant sur Moodle
Présentation
Dans cette page, vous trouverez des informations relatives au cours d'intégration et probabilités, notamment les notes du cours et des archives
I) Théorie de la mesure :
- Tribus, mesures, théorème de Dynkin. Intégration abstraite : intégration des fonctions mesurables positives, théorème de convergence monotone et de Fatou ; fonctions intégrables, convergence dominée, de dérivation sous le signe somme.
- Construction de mesures : théorème d'extension de Carathéodory. Cas de la mesure de Lebesgue sur R^d. Formule de changement de variables. Intégrale de Stieljes, mesures de Radon, théorème de représentation de Riesz.
- Mesures produits, théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini-Lebesgue. Intégration par parties.
- Espaces Lp, inégalité de Jensen, Hölder et Minkowski, théorèmes de densité (pas de preuves ici, la théorie générale n'est pas faite dans ce cours). Dérivée de Radon-Nikodym. Points de Lebesgue.
II) Introduction aux probabilités :
- Introduction historique. Langage probabiliste et modélisation.
- Variables aléatoires, espérance mathématiques. Loi d'une variable aléatoire et lois classiques. Théorème de représentation de Skorokhod. Notion de tribu engendrée par une variable aléatoire. Moments, fonctions caractéristiques. Fonctions génératrices.
- Indépendance : définitions et caractérisations. Théorème des coalitions. Tribu asymptotique, loi du tout ou rien, lemmes de Borel-Cantelli. Loi fortes des grands nombres. Applications.
- Convergence en loi : définitions et caractérisations, théorème de Levy. Comparaison des différents modes de convergences. Théorème central limite. Applications.
Infos
- Mise en ligne des chapitres 1 et 2 (16/09)
- Mise en ligne des 3 premières feuilles d'exercices (1/10)
- Mise en ligne des 4 premièrs chapitres et du texte de la conférence d'Yves Meyer. (08/10)
- Pourquoi et comment est-on amené à faire des mathématiques appliquées ? Une conférence d'Yves Meyer à ne pas manquer à l'IHP Vendredi 6 Novembre 2009 à 20h.
- Mise en ligne des chapitres 1 à 6 et dernière feuille d'exercices.
- (26/11) Mise en ligne chapitre 1 à 7.
- (9/12) Mise en ligne chapitre 1 à 8.
- (17/12) Mise à jour des notes.
- (20/12) Mise à jour des notes.
- (06/01) Mise en ligne examen 2008-2009.
- (08/01) Dernière mise à jour des notes et du corrigé de l'examen 2008-2009 (merci pour les remarques qui m'ont été transmises).
Notes de Cours
L'état courant des notes de cours peut être trouvé ici (merci de me signaler les coquilles ou erreurs résiduelles (trouve@cmla.ens-cachan.fr)):
- Chap 1 à 8
- "Pourquoi Lebesgue essayait de mesurer les surfaces et n'y arrivait pas ?" par Yves Meyer (paru dans la gazette des mathématiciens en Juillet 2006)
